Изучение способа аналитического расчета многопролетных статически определимых балок на неподвижную нагрузку показало, что основной задачей расчета является определение расчетных усилий M max и Q max . Эта задача решается путем построения эпюр М и Q от заданной неподвижной нагрузки.
В то же время большое число инженерных сооружений, несущей частью которых являются сварные металлические конструкции, в том числе и балки, работают при воздействии подвижных нагрузок. Это железнодорожные и автодорожные мосты, подкрановые балки и мосты кранов и др. Определить в этом случае расчетные усилия с помощью эпюр М и Q практически невозможно. Поэтому расчет на подвижную нагрузку производится иным способом.
Расчет сооружения на подвижную нагрузку в значительной степени облегчается возможностью применения принципа независимости действия сил, сущность которого заключается в том, что внутренние усилия, напряжения и деформации, вызванные воздействием на сооружение различных нагрузок, можно суммировать.
Если, например, на сооружение одновременно действуют две группы сил, то возникающее при этом усилие в любом элементе сооружения будет равно сумме усилий, возникающих в нем при действии каждой группы сил в отдельности. Исследование действия на сооружение подвижной нагрузки начнем с рассмотрения наиболее простого случая, когда по сооружению движется только один вертикальный груз Р, равный единице (рис. 3.14). Исследуем, как меняется тот или иной фактор (например, опорная реакция, изгибающий момент в определенном сечении балки, прогиб балки в данной точке и т. п.) при перемещении груза Р = 1 по сооружению. Установленный при этом закон изменения изучаемого фактора в зависимости от положения перемещающегося груза Р = 1 будем изображать графически.
График, изображающий закон изменения какого-либо силового фактора (например, изгибающего момента в сечении) при передвижении по сооружению силы Р = 1 , называется линией влияния этого фактора.
Понятие о линиях влияния. Очевидно, что величина любого усилия в элементах несущих конструкций зависит от положения внешней подвижной нагрузки. Например, в однопролетной балке на двух опорах (рис, 3.14) величина опорной реакции R A будет тем больше, чем ближе к опоре находится подвижный груз Р , и наоборот, R A тем меньше, чем дальше от опоры А находится подвижный груз Р .
График, выражающий закон изменения усилий (опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных сил в заданном сечении балки) в зависимости от положения на балке подвижного единичного груза Р = 1 , называется линией влияния.
Рассмотрим порядок построения линий влияния опорных реакций однопролетных балок.
Однопролетная статически определимая балка АВ (рис. 3.14 а ). Нагрузка на балку - подвижный единичный груз Р = 1 . Определим величину опорной реакции R A в зависимости от положения Р = 1 (в текущих координатах).
∑М В = 0; R A · L - P (L - X) = 0; R A = (L - X)/L. (3.12)
Уравнение (3.12) это уравнение прямой линии. Определим ее положение в координатах X – Y.
При Х = 0,75L R A = 0,25P , при Х = 0,5L R A = 0,5P., При Х =0,25L R A = 0,75Р , что и представлено в левой части рис. 3.14.
Рис. 3.14. Анализ изменения опорных реакций R A и R B в зависимости от положения единичного груза Р = 1 c построением графиков линий влияния опорных реакций R A (б ) и R B (в ) в зависимости от положения единичного груза при Р = 1
Отложим на левой опоре (Х = 0 ) ординату, равную + 1, в произвольном масштабе, на правой опоре (Х = L ) - ординату, равную нулю. Найденные две точки определяют положение прямой, которая и является линией влияния опорной реакции R A (рис. 3.14 б ). С помощью полученного графика можно определить величину опорной реакции при любом положении груза Р = 1 . Для этого достаточно измерить ординату под грузом. Эта ордината (в принятом масштабе) будет равна опорной реакции R A при данном положении Р = 1 . Линия влияния изображена на рис 3.14 в .
Рассмотрим на примере использование линии влияния для практических целей. Однопролетная балка АВ (рис. 3.15) нагружена тремя неподвижными сосредоточенными силами.
Рис. 3.15. Использование линии влияния для определения опорной реакции R A
С помощью линии влияния определим величину R A от действия данной нагрузки. Для этого воспользуемся одним из следствий принципа независимости действия сил: результаты воздействия на сооружение различных нагрузок можно суммировать. На основании этого
R A = P 1 · y 1 + P 2 · y 2 + P 3 · y 3 = 8 · 0,75 + 6 · 0,5 + 8 · 0,125 = 10 т (3.13) Рассмотрим порядок построения линии влияния изгибающего момента в произвольно выбранном сечении балки.
Статически определимая балка на двух oпорах АВ (рис. 3.16 а ). Найдем изгибающий момент в сечении I - I , которое находится на расстоянии а от левой опоры. Если подвижный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения (рис. 3.16 а ), то изгибающий момент в сечении равен
М 1 = R A · а = а · (L - X)/ L. (3.14)
График уравнения (3.14) также прямая, которая и является линиейвлияния изгибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 в ). Но это не вся линия влияния, а только ее правая ветвь. Она действительна от опоры В до сечения, так как уравнение (3.14) составлено при условии, что груз Р=1 находится на этой (правой) части балки. Переместим груз Р = 1 на часть балки слеваот сечения I - I . Тогда момент в сечении I - I равен
М 1 = R B · b. (3.15)
Рис 3.16. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении I - I
Строим график уравнения (3.15). На правой опоре откладываем ординату, равную отрезку, в . Прямая, соединяющая точки с ординатой в на правой опоре и с ординатой, равной нулю, налевой опоре, является линией влияния момента в сечении I - I . Но, как теперь понятно, это также не вся линия влияния, а ее левая ветвь (рис. 3.16 в ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния изгибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 г ). Размерность ординат линии влияния изгибающего момента - метры (сантиметры).
Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Линия влияния М 1 по очертанию подобна эпюре изгибающих моментов от действия сосредоточенной силы. Но это сходство только внешнее. Между эпюрой изгибающих моментов и линией влияния изгибающего момента имеется принципиальная разница. Если эпюра моментов - это график распределения моментов во всех сечениях балки от неподвижной определенной нагрузки, то линия влияния момента - это график величин моментов в одном определенном сечении балки в зависимости от положения подвижного единичного груза Р = 1 .
Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы.
Рис. 3.17. Построение линии влияния поперечной силы Q
Статически определимая балка на двух опорах АВ (рис. 3.17). Построим линию влияний поперечной силы Q I для сечения I - I , находящегося на расстоянии a левой опоры. Если подвижный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения I - I, то величина поперечной силы в сечении равна
Q I = + R A . (3.16)
Напомним, что правило определения знаков поперечных сил в сечении рассмотрено выше (раздел 3.3.3, рис. 3.13).
Из уравнения (3.16) следует, что поперечная сила Q I и опорная реакция R A в зависимости от положения подвижного единичного груза Р = 1 изменяются по одному и тому же закону. Следовательно, линия влияния R A будет также правой ветвью линии влияния Q I (рис. 3.17 а ).
Переместим груз Р =1 на часть балки слева от сечения I - I. Тогда
Q I = - R В. (3.17)
Из уравнения (2.17) следует, что линия влияния R В (с обратным знаком) будет также левой ветвью линии влиянияQ I (рис. 3.17 б ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния поперечной силы в сечении I - I (л.вл. Q I ) (рис 3.17 в ).
Рассмотрим построение линий влияния для однопролетных балок с консолями (рис. 3.18).
Рис 3.18. Балка АВ с линиями влияния R A , , R B , M и Q в сечении I – I между опорами
Построение линий влияния опорных реакций, изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся в пределах основного пролета АВ , производится по тем же правилам, что и для балки без консолей.
Величина опорной реакции R A в текущих координатах определяется по формуле (3.12), приведенной выше.
R A = (L - X)/L,
Формула (3.12) справедлива при всех положениях груза Р = 1 , включая консоли (рис. 3.18 а ). Построение линии влияний опорной реакции R A : соединяем прямой две точки - первую с ординатой, равной + 1 , на левойопоре, и вторую с ординатой, равной нулю, на правой опоре. Затем продолжаем прямую до концов консолей. В пределах правойконсоли ординаты отрицательные. Это означает, что R A направлена вниз, когда груз Р = 1 находится в пределах этой консоли.
Линию влияния момента в сечении I-I построим как для обычной балки, но левую и правую ветви продолжим до концов консолей (рис. 3.18 в ). В пределах консолей ординаты линии влияния отрицательны. Это означает, что момент всечении I - I отрицателен, когда груз Р = 1 находится на консолях.
При построении линии влияния поперечной силы в сечении I - I правую и левую ветви необходимо продолжить до конца консолей (рис. 3.18, г ).
Построение линий влияния изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся на консолях, производится по иным правилам (рис. 3.19).
Рис. 3.19. Линии влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II для сечений I – I и II – II на консолях балки
Линия влияния изгибающего момента в сечении I - I будет только в пределах от сечения I - I до конца консоли. Представляется очевидным, что когда груз Р = 1 находится слева от сечения I - I , сечение не работает, в нем нет изгибающего момента (и поперечной силы).
Поэтому ординаты линии влияния М 1 слева от сечения I - I равны нулю. Величина изгибающего момента в сечении I - I в текущих координатах (рис. 3.19 а ), равна
М 1 = -Р · Х = -Х
Когда груз Р = 1 находится над сечением (Х = 0 ), М 1 = 0 , когда груз находится на краю консоли (Х = d ), М 1 = -d . Линия влияния М 1 и М 1 I приведены на рис. 2.19 б ; линии влияния Q I и Q II - на рис. 3.19 в . (Знаки ординат линий влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II определены всоответствии со схемами, показанными на рис. 3.13).
Рассмотрим построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок.
Построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок базируется на тех же закономерностях, которые используются при исследовании однопролетных балок.
Рассмотрим балку А-Н (рис. 3.20 а ). Балка статически определима и геометрически неизменяема. Составим схему взаимодействия (рис. 3.20 б ), которая помогает определить основные и вспомогательные элементы.
При построении линий влияния следует руководствоваться следующими правилами:
а) линии влияния для второстепенного элемента не отличаются по правилам построения от линий влияния для обычной однопролетной балки и не выходят за пределы элемента;
б) при построении линий влияния для основного элемента сначала строим ее, не обращая внимания на второстепенные элементы, как для обычной однопролетной балки, а затем учитываем их воздействие (второстепенных элементов).
Рассмотрим построение линий влияния на примере для балки А-Н (рис. 3.20 а ).
Линии влияния опорных реакций R A и R В (рис. 3.20 в, г ), строим сначала в пределах основного элемента ABC, как для обычной балки с консолями. Когда груз Р = 1 перейдет на второстепенный элемент СД , его воздействие на величину опорных реакций R A и R В начнет уменьшаться и станет равным нулю при положении груза в точке Д . Соответственно равным нулю при этом положении груза Р = 1 станут и величины опорных реакций R A и R В. Правее шарнира Д ординаты линий влияния R A и R В равны нулю, так как при положении груза Р = 1 правее шарнира Д он не оказывает никакого воздействия на эти опорные реакции.
Линии влияния М 1 II и Q 1 II для сечения III - III , находящегося на второстепенной балке СД , не отличаются от линий влияния для обычной однопролетной балки (рис. 3.20 д ).
Линии влияния М 1 и Q 1 для сечения I - I , находящегося впределах основного пролета основного элемента ABC , строим, придерживаясь правил, примененных при построении линий влияния R A и R В (рис. 3.20 е ).
Линии влияния М 1 I и Q 1 I для сечения II - II , находящегося на консольной части основного элемента ABC , строим сначала как для обычной балки, затем учитываем воздействие второстепенного элемента СД . Когда груз Р = 1 достигнет шарнира Д , его воздействие через элемент СД на величину М 1 I и Q 1 I прекратится (рис.3.20 ж ).
Линии влияния R Е, М 1 V и Q 1 V подобны по построению линиям влияния соответственно R A , М 1 и Q 1 , так как элемент ДЕFG также является основным. Только на величину R Е, М 1 V и Q 1 V помимо второстепенного элемента СД оказывает воздействие второй второстепенный элемент GH (рис. 3.20 з, и, к ).
Линия влияния М V подобна по построению линии влияния М 1 I , а линия влияния М 1 V - соответственно линии влияния М 1 II (рис. 3.20 л, м ).
Правильность построения линий влияния можно проверить статическим способом. Для этого, располагая груз Р = 1 в произвольно выбранных сечениях на балке, необходимо составить и решить соответствующие уравнения статики (по методике, рассмотренной в разделе 3.3.3).
Рис. 3.20. Построение линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил для многопролетной балки в сечениях I, II, III, IV, V и VI
Предисловие.... 3
Введение.... 7
Глава 1. Кинематический анализ сооружений.... 14
§ 1.1. Опоры.... 14
§ 1.2. Условия геометрической неизменяемости стержневых систем.... 16
§ 1.3. Условия статической определимости геометрически неизменяемых стержневых систем.... 23
Глава 2. Балки.... 27
§ 2.1. Общие сведения.... 27
§ 2.2. Линии влияния опорных реакций для однопролетных и консольных балок.... 31
§ 2.3. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетных и консольных балок.... 34
§ 2.4. Линии влияния при узловой передаче нагрузки.... 38
§ 2.5. Определение усилий с помощью линий влияния.... 41
§ 2.6. Определение невыгоднейшего положения нагрузки на сооружении. Эквивалентная нагрузка.... 45
§ 2.7. Многопролетные статически определимые балки.... 51
§ 2.8. Определение усилий в многопролетных статически определимых балках от неподвижной нагрузки.... 55
§ 2.9. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок.... 59
§ 2.10. Определение усилий в статически определимых балках с ломаными осями от неподвижной нагрузки.... 62
§ 2.11. Построение линий влияния в балках кинематическим методом.... 64
Глава 3. Трехшарнирные арки и рамы.... 70
§ 3.1. Понятие об арке и сравнение ее с балкой.... 70
§ 3.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки.... 73
§ 3.3. Графический расчет трехшарнирной арки. Многоугольник давления.... 82
§ 3.4. Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки.... 87
§ 3.5. Расчет трехшарнирных арок на подвижную нагрузку.... 88
§ 3.6. Ядровые моменты и нормальные напряжения.... 95
Глава 4. Плоские фермы.... 98
§ 4.1. Понятие о ферме. Классификация ферм.... 98
§ 4.2. Определение усилий в стержнях простейших ферм.... 101
§ 4.3. Определение усилий в стержнях сложных ферм.... 118
§ 4.4. Распределение усилий в элементах ферм различного очертания.... 121
§ 4.5. Исследование неизменяемости ферм.... 125
§ 4.6. Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм.... 133
§ 4.7. Линии влияния усилий в стержнях сложных ферм.... 142
§ 4.8. Шпренгельные системы.... 146
§ 4.9. Трехшарнирные арочные фермы и комбинированные системы.... 152
Глава 5. Определение перемещений в упругих системах.... 159
§ 5.1. Работа виешних сил. Потенциальная энергия.... 159
§ 5.2. Теорема о взаимности работ.... 163
§ 5.3. Теорема о взаимности перемещений.... 166
§ 5.4. Определение перемещений. Интеграл Мора.... 168
§ 5.5. Правило Верещагина.... 173
§ 5.6. Примеры расчета.... 179
§ 5.7. Температурные перемещения.... 185
§ 5.8. Эиергетический прием определения перемещений.... 188
§ 5.9. Перемещения статически определимых систем, вызываемые перемещениями опор.... 189
Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом сил.... 193
§ 6.1. Статическая неопределимость.... 193
§ 6.2. Канонические у равнени я метода сил.... 199
§ 6.3. Расчет статически неопределимых систем на действие заданной нагрузки.... 202
§ 6.4. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры.... 213
§ 6.5. Сопоставление канонических уравнений при расчете систем на перемещения опор.... 215
§ 6.6. Определениеперемещенийвстатическинеопределимыхсистемах.... 219
§ 6.7. Построение эпюр поперечных и продольных сил. Проверка эпюр.... 222
§ 6.8. Способ упругого центра.... 228
§ 6.9. Линии влияния простейших статически неопределимых систем.... 231
§ 6.10. Использование симметрии.... 238
§ 6.11. Группировка неизвестных.... 241
§ 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки.... 243
§ 6.13. Способ преобразования нагрузки.... 245
§ 6.14. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 247
§ 6.15. Примеры расчета рам.... 249
§ 6.16. «Модели» линий влияния усилий для неразрезных балок.... 263
Глава 7. Расчет статически неопределимых систем методами перемещений и смешанным.... 265
§ 7.1. Выбор неизвестных в методе перемещений.... 265
§ 7.2. Определение числа неизвестных.... 266
§ 7.3. Основная система.... 269
§ 7.4. Канонические уравнения.... 276
§ 7.5. Статический способ определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 280
§ 7.6. Определение коэффициентов и свободиых членов системы канонических уравнений перемножением эпюр.... 283
§ 7.7. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.... 286
§ 7.8. Построение эпюр M, Q и N в заданной системе.... 287
§ 7.9. Расчет методом перемещений на действие темцературы.... 288
§ 7.10. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений.... 292
§ 7.11. Пример расчета рамы методом перемещений.... 295
§ 7.12. Смешанный метод расчета.... 302
§ 7.13. Комбинированное решение задач методами сил и перемещений.... 307
§ 7.14. Построение линий влияния методом перемещений.... 309
Глава 8. Полная система уравненнй строительной механики стержиевых систем и методы ее решения.... 313
§ 8.1. Общие замечания.... 313
§ 8.2. Составление уравнений равновесия, статические уравнения. Исследование образования систем.... 313
§ 8.3. Составление уравнений совместности, геометрические уравнения. Принцип двойственности.... 321
§ 8.4. Закон Гука. Физические уравнения.... 326
§ 8.5. Система уравнений строительной механики. Смешанный метод.... 328
§ 8.6. Метод перемещений.... 333
§ 8.7. Метод сил.... 341
§ 8.8. Уравнения теории упругости и их связь с уравнениями строительной механики.... 345
Глава 9. Расчет стержневых систем с использованием ЭВМ.... 352
§ 9.1. Вводные замечания.... 352
§ 9.2. Полуавтоматизированный расчет статически неопределимых систем с использованием калькуляторов.... 353
§ 9.3. Автоматизация расчета стержневых систем. Полная система уравнений строительной механики для стержня.... 363
§ 9.4. Матрицы реакций (жесткости) для плоских и пространственных стержней и их использование.... 372
§ 9.5. Описание учебного комплекса по расчету стержневых систем. Внутреннее и внешнее представление исходных данных. Блок-схема комплекса по расчету стержневых систем.... 389
Глава 10. Учет геометрической и физической нелинейности при расчете стержневых систем.... 397
§ 10.1. 0бщие замечания.... 397
§ 10.2. Расчет стержневых систем с учетом геометрической нелинейности.... 398
§ 10.3. Устойчивость стержневых систем.... 411
§ 10.4. Расчет стержневых систем с учетом физической нелинейности. Предельное состоянне.... 419
Глава 11. Метод конечных элементов (МКЭ) .... 435
§ 11.1. Общие замечания.... 435
§ 11.2. Связь МКЭ с уравнениями строительной механики.... 435
§ 11.3. Построение магрнц жесткости для решения плоской задачи теории упругости.... 456
§ 11.4. Предельный переход для плоской задачи.... 464
§ 11.5. Построение матриц жесткости для решения объемной задачи теории упругости.... 467
§ 11.6. Сложные элементы, построение матриц жесткости для элементов с искривленной границей.... 471
§ 11.7. Построение матриц реакций для расчета пластинок и оболочек.... 485
§ 11.8. Особенности комплексов для расчета конструкций по МКЭ. Суперэлементный подход.... 493
Глава 12. Основы динамики сооружений.... 501
§ 12.1. Виды динамических воздействий. Понятие о степенях свободы.... 501
§ 12.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы....
§ 12.3. Расчет систем с одной степенью свободы при действии периодической нагрузки.... 518
§ 12.4. Расчет систем с одной степенью свободы при действии произвольной нагрузки. Интеграл Дюамеля.... 524
§ 12.5. Движение системы с двумя степенями свободы. Приведение в системы с двумя степенями свободы к двум системам с одной степенью свободы.... 529
§ 12.6. Кинетическая энергия. Уравнение Лагранжа.... 536
§ 12.7. Приведение кинематического воздействия к силовому.... 544
§ 12.8. Сведение системы дифференциальных уравнений динамики к разделяющимся у равнениям с помощью решения проблемы собственных значений.... 546
§ 12.9. Метод постоянного ускорения и его использование для решения динамических задач.... 550
Глава 13. Сведения из вычислительной математики, используемые в строительной механике.... 554
§ 13.1. Общие замечания.... 554
§ 13.2. Матрицы, их виды, простейшие операции над матрицами.... 555
§ 13.3. Перемножение матриц. Обратная матрица.... 557
§ 13.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Разложение матрицы в произведение трех матриц.... 562
§ 13.5. Исследование систем линейных уравнений. Однородные уравнения. Решение n уравнений с m неизвестными с использованием метода Гаусса.... 574
§ 13.6. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Производная от квадратичной формы.... 578
§ 13.7. Собственные числа и собственныеве векторы положительно определенной матрицы.... 581
§ 13.8. Однородные координаты и интегрирование по треугольной области.... 594
§ 13.9. Соотношения между тригонометрическими, гиперболическими функциями и экспоненциальной функцией.... 599
Заключение.... 600
Литература.... 601
Предметный указатель.... 602
Как построить линии влияния? Строительная механика основывается на кинематическом способе Лагранжа. Его основная суть заключается в том, что в системе, которая находится в состоянии полного равновесия, результирующая всех сил на незначительных перемещениях равна нулю.
Специфичность метода
Чтобы построить линии влияния реакции, изгибающего момента, поперечной силы для заданного сечения балки, используется определенный алгоритм действий. Для начала удаляют связь. Кроме того, убирают линии влияния внутреннего усилия, вводят необходимое усилие. В результате подобных манипуляций заданная система будет механизмом, обладающим одной степенью свободы. В том направлении, где рассматривается внутреннее усилие, вводят незначительное перемещение. Его направление должно быть аналогично внутреннему усилию, только в таком случае будет совершаться положительная работа.
Примеры построений
На основе принципа перемещений записывают уравнение равновесия, при его решении вычисляют линии влияния, определяют необходимое усилие.
Рассмотрим пример таких расчетов. Строим линии влияния поперечной силы в некотором сечении А. Чтобы справиться с поставленной задачей, необходимо построить эпюру перемещений данной балки от одинарного перемещения в направлении убранной силы.
Формула для определения усилий
Построение линий влияния осуществляется с применением специальной формулы. Она связывает искомое усилие, величину сосредоточенной силы, которая действует на балку, с площадью фигуры, образованной линией влияния и осью эпюры под нагрузкой. А также с показателем изгибающего момента и тангенса угла линии влияния усилий и нейтральной осью.
Если направление распределительной нагрузки и сосредоточенной силы совпадают с направлением подвижной единичной силы, они имеют положительное значение.
Изгибающий момент будет положительной величиной в том случае, когда его направление совпадает с движением часовой стрелки. Тангенс будет положительным при значении угла поворота менее прямого угла. При проведении вычислений используют со своими знаками величину ординат и площади линии влияния. Строительная механика основывается на статистическом методе построения эпюр.
Определения
Приведем основные определения, которые необходимы для выполнения качественных чертежей и расчетов. Линия влияния - это линия, которая связывает внутреннее усилие и перемещение единичной подвижной силы.
Ординаты демонстрируют изменение анализируемого внутреннего усилия, появляющегося в определенной точке на балке при передвижении по длине единичной силы. Они показывают изменение в разных точках рассматриваемого внутреннего усилия при условии использования внешней неподвижной нагрузки. Статистический вариант построение базируется на записи уравнений равновесия.
Два варианта построения
Построение линий влияния в балках и изгибающего момента возможно в двух случаях. Сила может располагаться справа или слева относительно используемого сечения. При левом расположении от сечения силы при проведении расчетов выбирают силы, которые будут действовать правее. При ее правом действии считают по левым силам.
Многопролетные балки
В мостах, к примеру, при передаче внешней нагрузки на несущую часть всей строительной конструкции используются вспомогательные балки. Главной балкой называют ту, что является несущей основой. Поперечными считают балки, располагающиеся к главной под прямым углом.
Вспомогательными (однопролетными) именуют балки, к которым и прилагается внешняя нагрузка. Такой вариант передачи на основную балку нагрузки считается узловым. Панелью считают участок, расположенный между двумя ближайшими узлами. А они представлены в виде точек главной оси, к которым подходят поперечные балки.
Особенности
Что собой представляет линия влияния? Определение данного термина в балке связано с графиком, который показывает изменение анализируемого фактора при передвижении единичной силы по балке. В его качестве может выступать поперечная сила, изгибающий момент, опорная реакция. Любая ордината линий влияния демонстрирует размер анализируемого фактора в тот момент времени, когда сила располагается над ней. Как построить линии влияния балки? Основывается статистический способ на составлении уравнений статистики. Например, для простой балки, находящейся на двух шарнирных опорах, характерна сила, передвигающаяся по балке. Если выбрать определенное расстояние, на котором она функционирует, можно построить линии влияния реакции, составить уравнение моментов, построить по двум точка график.
Кинематографический способ
Может быть на основе перемещений построена линия влияния. Примеры таких графиков можно найти в тех случаях, когда изображают балку без опоры, чтобы механизм мог перемещаться в положительном направлении.
Для построения линии влияния определенного изгибающего момента необходимо врезать в имеющееся сечение шарнир. В таком случае полученный механизм будет поворачиваться на единичный угол в положительном направлении.
Построение линии влияния при поперечной силе возможно при врезке в сечение ползуна и раздвигании балки на единицу в положительном направлении.
Можно с помощью кинематографического способа построить линии изгибающего момента и поперечной силы в консольной балке. С учетом неподвижности левой части в подобной балке рассматривается движение только для правой части в положительном направлении. Благодаря линиям влияния по формуле можно рассчитать любые усилия.
Расчеты при кинематографическом способе
При расчетах по кинематическому способу используют формулу, связывающую число опорных стержней, количество пролетов, шарниров, степени свободы поставленной задачи. Если при подстановке заданных значений свободы будет равно нулю, статистически задачу можно определить. Если данный показатель будет иметь отрицательное значение, задача статистически невыполнима, при положительной величине степеней свободы выполняется геометрическое построение.
Для того чтобы было удобнее проводить расчеты, иметь наглядное представление об особенностях работы дисков в многопролетной балке, строят поэтажную схему.
Для этого меняют на шарнирно-неподвижные опоры все исходные шарниры, имеющиеся в балке.
Разновидности балок
Предполагается несколько типов многопролетных балок. Специфичность первого типа состоит в том, что во всех пролетах, за исключением первого, используются шарнирно-подвижные опоры. Если вместо шарниров использовать опоры, будут образовываться однопролетные балки, в которых каждая будет опираться на консоль рядом стоящей.
Для второго типа характерно чередование пролетов, которые обладают двумя шарнирно-подвижными опорами, с пролетами без опор. В таком случае поэтажная схема на консоли центральных балок базируется на балках-вставках.
Кроме того, существуют и такие балки, в которых совмещаются два предыдущих типа. Чтобы обеспечить статистическую определимость балок-вставок, переносят между опорой на правую соседнюю балку. Нижний этаж в поэтажной схеме будет представлен основной балкой, а второстепенные балки применяют для верхнего этажа.
Эпюры внутренних силовых факторов
С помощью поэтапной схемы можно выполнять построение эпюры для отдельной балки начиная с верхнего этажа и завершая нижними построениями. После того как будут завершены построения силовых внутренних факторов для верхнего этажа, нужно поменять все найденные значения реакции опор на противоположные по направлению силы, затем приложить их в поэтажной схеме к нижнему этажу. При построении на нем эпюр пользуются заданной нагрузкой сил.
После завершения построения эпюр силовых внутренних факторов осуществляется статистическая проверка полной многопролетной балки. При проверке должно выполняться условие, согласно которому сумма всех реакций опор и заданных сил равна нулю. Также важно провести анализ соблюдения дифференциальной зависимости для отдельных участков используемой балки.
В графике, который выражает закон изменения либо силового внутреннего фактора в конкретном (заданном) сечении здания, функции от расположения передвигающегося отдельного груза называют линией влияния. Чтобы построить их применяют уравнение статистики.
Для определения силовых внутренних факторов вычисления реакций опор по определенным линиям влияния используются графические построения.
Значение вычислений
В широком значении строительная механика рассматривается в качестве науки, которая занимается разработкой методов расчета и принципов проверки конструкций и сооружений на устойчивость, прочность, а также на жесткость. Благодаря качественным и своевременным расчетам на прочность можно гарантировать безопасность работы возведенных сооружений, полную стойкость их к внутренним и внешним усилиям.
Для достижения желаемого результата применяется сочетание экономичности и долговечности.
Расчеты на устойчивость позволяют выявлять критические показатели внешних воздействий, гарантирующие сохранность заданной формы равновесия и положения в деформированном состоянии.
Расчеты на жесткость заключаются в выявлении разнообразных вариантов деформаций (осадок, прогибов, вибраций), из-за которых исключается полноценная эксплуатация сооружений, возникает угроза прочности конструкций.
Для того чтобы не возникало аварийных ситуаций, важно проводить подобные вычисления, анализировать соответствие полученных показателей предельно допустимым значениям.
В настоящее время строительная механика применяет огромное количество разнообразных надежных методик расчетов, которые прошли детальные испытания строительной и инженерной практикой.
Учитывая постоянную модернизацию и развитие строительной отрасли, включая и ее теоретическую базу, можно вести речь о применении новых надежных и качественных способов построения чертежей.
В узком понимании строительная механика связана с теоретическими расчетами стержней, брусьев, которые образуют сооружение. В качестве базы для строительной механики выступают фундаментальная физика, математика, экспериментальные исследования.
Расчетные схемы, которые применяются в строительной механике для каменных, железобетонных, деревянных, металлических конструкций, позволяют избегать недоразумений во время возведения зданий и сооружений. Только при правильном предварительном построении чертежей можно вести речь о безопасности и надежности создаваемых сооружений. Построение линий влияния в балках является довольно серьезным и ответственным мероприятием, ведь от точности действий зависит жизнь людей.
Внутренние и внешние (опоры) связи
Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними .
Виды внутренних связей:
2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;
3) составить уравнения равновесия;
4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N ;
5) построить эпюры M, Q, N
по найденным значениям внутренних усилий.
Метод совместных сечений
Данный метод применяется при расчете составных систем.
Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III . В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R 1 , R 2 , H и реакции X 1 , X 2 , X 3 ,Y 1 , Y 2 , Y 3 . Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.
Рисунок 2. Метод совметсных сечений
1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;
2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;
3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;
5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;
6) построить совместные эпюры для всей системы.
Метод вырезания узла
Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.
Алгоритм расчета данным методом:
1) можно вырезать узел только с двумя стержнями , сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;
2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);
3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.
Метод замены связей
Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.
Алгоритм расчета данным методом:
1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;
2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;
3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.
Примеры задач с решениями.
С. Задача 1
Подробнее: С. Задача 1
С. Задача 2
Построить эпюры внутренних усилий для балки.
Подробнее: С. Задача 2
С. Задача 3
Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.
Подробнее: С. Задача 3
С. Задача 4
Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.
Подробнее: С. Задача 4
Примеры с решениями.
С. Задача 1
Построить эпюры внутренних усилий для балки.
Однопролетная балка
1) Определяем реакции в опорах:
Т.к., значение реакции R A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.
Проверка:
2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):
Q . Производим построение эпюры поперечных сил ( Q ), используя формулу Журавского:
где М пр, М лев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;
l – длина рассматриваемого участка балки;
Q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.
Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил , рассмотренным выше (рисунок 1).
С. Задача 2
Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.
Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую ).
Расчет начинаем со вспомогательной рамы.
Составная рама
Вспомогательная часть рамы
1) Определяем реакции в опорах:
Проверка:
2) Строим эпюру изгибающих моментов М:
3) Строим эпюру поперечных сил Q :
Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы
4) Строим эпюру продольных сил N :
Рассматриваем узел G :
Вырезание узла для
Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1-2. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой отсе-
Рис. 11.11
ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I-I, из равновесия левой части получим
откуда найдем
Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I-I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R A , которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).
Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II-И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем
Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет
но aft = 1/4 , поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k , то
По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1-2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.
В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р - 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.
При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).
Рис. 11.12
Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:
Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.
Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6 И = 1839/(?/).
Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).
Формула подсчета фиктивного груза имеет вид
При расстояниях между узлами, равных S n = 5, |+ | = d = 6, и при EJ = const получим
По эпюре М„ (см. рис. 11.9) найдем
Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т.е. в противоположном направлении от груза Р = 1,
Рис. 11.13
ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.
В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N„ и М„ +1 . Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:
Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем
Проецируя все силы на вертикаль, запишем
Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем
Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем
Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.
Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l 2 , где d - расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим
Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х { подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х { к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я - умножить на
l 2 /(8fd).
Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).
На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.
Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).
