Окружность
– это плоская замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (точки О), которая называется центром окружности.
(Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.Точка О также называется центром круга.
Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется
радиусом
окружности/круга.
Посмотрите, как используется круг и окружность в нашей жизни, искусстве, дизайне.
Хорда - греческое - струна, стягивающая что-то
Диаметр
- "измерение через"
КРУГЛАЯ ФОРМА
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом.
Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.
В. Кандинский
В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении.
В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до
точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет.
На рис. 2 изображены две окружности и цепочка окружностей, каждая из которых касается этих двух окружностей и двух соседей по цепочке. Швейцарский геометр Якоб Штейнер около 150 лет назад доказал следующее утверждение: если при некотором выборе третьей окружности цепочка замкнется, то она замкнется и при любом другом выборе третьей окружности. Отсюда следует, что если однажды цепочка не замкнулась, то она не замкнется при любом выборе третьей окружности. Художнику, рисовавшему
изображенную цепочку, пришлось бы немало потрудиться, чтобы она получилась, или обратиться к математику для расчета расположения двух первых окружностей, при котором цепочка замыкается.
Вначале мы упомянули о колесе, но еще до колеса люди использовали круглые бревна
- катки для перевозки тяжестей.
Энц. "Я познаю мир. Математика", 2006
Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха).
Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
Энц. справочник юного математика, 1989
Урок математики в 1 классе с ГУО на тему: «Геометрическая фигура: круг»
Цель: Познакомить с геометрической фигурой – кругом. Учить отличать круг от других геометрических фигур и правильно его называть. Закрепить названия цветов. Воспитывать уважительное отношение друг к другу.
I Организационный момент.
1. Кто ходит в гости по утрам,
Тот поступает мудро!
Тарам-парам, тарам-парам,
На то оно и утро!
Дети, какое сейчас время суток? (утро)
Следом за утром приходит … (день)
Часто из гостей возвращаются, когда наступает….(вечер) (С помощью картинок)
2. Посмотрите внимательно на картинки, что на них общее? Чем они все похожи? (на всех картинках нарисовано солнце)
II. Сообщение темы.
Солнце круглое. Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой – кругом. Поучимся отличать его от других фигур, будем находить предметы круглой формы.
III. Знакомство с фигурой.
1.К нам на урок пришёл гость – Винни-Пух. Он прилетел на воздушных шарах. (Детям раздаются воздушные шары) Шар круглый. (Предложить обвести шар ладонью, пальцем.)
2. Посмотрите на Винни-Пуха, какие части тела у него круглые?
3. Вини-Пух очень любит покушать, и поэтому принёс с собой набор посуды (плоскостные изображения посуды круглой и квадратной формы). Но Вини-Пух любит есть только из посуды круглой формы. Помогите выбрать посуду круглой формы.
4. Пока Вини-Пух добирался до нас, у него разбилось несколько тарелок. Помогите, склейте их! (Дети собирают разрезную картинку)
Какой формы тарелка?
5. Посмотрите вокруг, найдите круглые предметы в нашем классе.
IV. Физ. минутка (хороводная игра)
Ровным кругом друг за другом
Мы идём за шагом шаг.
Дружно вместе все на месте
Делаем вот так!
(Водящий выбирается по очереди)
V. Закрепление изученного
1. У Вини-Пуха много друзей. Он принёс их портреты. (Изображения из геометрических фигур. Рассматриваем, обговариваем, кто это).
Скажите, что у них круглое?
2. Детям раздаются наборы геом.фигур. Найдите круг. (Тактильное обследование, прокатить круг по столу). Обговорить цвет и размер фигур.
Почему круг катится? (потому что нет углов)
Почему колёса круглые? (потому что нет углов, они могут катиться)
3. Выкладывание по образцу изображения из набора геом. фигур. (Друг Винни)
VI. Работа в тетради.
- Пальчиковая гимнастика.
- Объяснение задания.
- Работа в тетради.
VII. Итог: С какой фигурой познакомились? Чем занимались на уроке?
И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,
Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.
Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.
Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).
Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .
d = 2r
D = 2R
Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.
Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:
C = ¶d
C = 2¶r
- Примеры
- Дано: d = 100 см.
- Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
- Дано: d = 25 мм.
- Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм
Секущая окружности и дуга окружности
Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.
Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.
Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.
Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.
Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.
Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.
Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.
Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.
- Примеры
- Дано: r = 100 см
- Площадь круга:
- S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
- Дано: d = 50 мм
- Площадь круга:
- S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2
Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .
Сегодня мы будем делать цыплёнка. Каким цветом цыпленок? Правильно, жёлтый. Из всех кругов выбери только желтые круги. Потом отложи отдельно голубые круги и зеленые.
Сначала просто выкладываем цыплёнка на бумаге без клея, чтобы у малыша было понимание того, что мы делаем, это также поможет избежать ошибок при работе с клеем.
Большой жёлтый круг будет туловищем цыпленка. Куда мы его положим? (предлагаем ребенку самому выбрать место на листе бумаги).
Кружок поменьше будет головой. Где у нашего цыплёнка будет голова? (ребёнок пусть снова сам выберет место, в какую сторону будет смотреть цыплёнок: вверх на небо и солнце или вниз на травку, может он будет клевать зернышки. Помогайте малышу фантазировать, предлагайте варианты. Маленьким можно подсказать, посоветовать, но не настаивайте, пусть он сам сделает выбор)
Где маленький чёрный кружок? Это будет глаз. Маленький треугольник - клюв, два одинаковых треугольника - лапки. Разложи фигуры на свои места.
Чего не хватает нашему цыпленку? Правильно, крыльев! У нас есть ещё 2 жёлтых круга, один мы отложим - это будет солнце, а из второго сделаем крылья. Как ты думаешь, как из одного круга сделать два крыла? (с этим справятся дети от трёх лет. Пусть ребёнок подержит круг в руках, повертит, приложит к бумаге, возможно, у него появится ответ).
Мы разрежем круг напополам. Для этого давай найдем центр круга. Где центр (середина) у круга? (можно дать ребенку карандаш и предложить самому найти и отметить центр с тыльной (не цветной!) стороны листа. Даже если точка не в центре, а где-то рядом, ничего страшного, похвалите кроху! Если ребёнок мал, сделайте все сами, объясняя каждое действие).
Через центр теперь проведем прямую линию, которая разделит круг напополам. По этой линии мы разрежем наш круг на две части. Получилось два крыла (обязательно разрезайте через точку (центр), указанную ребёнком, во-первых, ребёнок будет чувствовать, что его мнение важно для вас и вы прислушиваетесь к нему, а во-вторых - аппликация будет более художественной)
В ходе занятия для детей постарше можно объяснить, что такое полукруг (или вспомнить эту фигуру)
Посмотри, какие фигуры у нас получились. Это фигура называется полукруг. Пол круга - полукруг (повторяем несколько раз и предлагаем повторить название)
Где будут крылышки у нашего цыплёнка?
Цыплёнка выложили на бумаге, теперь можно приклеить его.
Цыплёнок готов.
Давай возьмём большие зелёные круги (или 1 круг) - это будет наша травка. Как ты думаешь, как из круга сделать травку? Правильно, снова разрезать напополам (повторяем шаги, как с крылышками: даём ребёнку отметить центр, разрезаем и приклеиваем снизу). Чтобы травка была натуральнее, можно сделать небольшие надрезы по округлой стороне.
На небо приклеиваем солнышко.
Облака можно сделать разными способами:
1. Наклеить кружки внахлёст, формируя облако. Разный размер кружков сделает форму облака более натуральной.
2. Разрезать круги напополам и также наклеивать внахлёст.
У нас получилось по-другому: Поля захотела сложить круги напополам и приклеить только одну половину круга. Таким образом мы уже делали другие поделки и этот вариант ей понравился.
Когда бумага окончательно высохнет, можно дорисовать солнечные лучи и цветы на травке карандашом. Можно сделать это пластилином. Пусть малыш выбирает сам.
Является теперь возможность установить иной взгляд на получение угла: каждый угол можно рассматривать, как результат вращения луча вокруг точки. Если мы имеем луч OA и, отметив его исходное положение, станем его вращать вокруг точки O (по плоскости), то, дойдя, например, до положения OM этого вращающегося луча, получим ∠AOM, являющийся результатом этого вращения (чер. 26).
Обратив внимание на какую-либо точку A этого луча OA, мы видим, что эта точка описывает во время вращения луча некоторую линию. Называем ее именем «круг» или «окружность». Так как точки O и A определяют отрезок OA, то устанавливаем возможность получения окружности вращением отрезка около одного из его концов. Строим круг при помощи циркуля (ножки циркуля являются как бы концами воображаемого отрезка) и вводим термины: центр, радиус, диаметр, площадь круга (или окружности), понимая под этим именем часть плоскости, ограничиваемую кругом (или окружностью), дуга и хорда. Является также возможность установить деление всех точек плоскости на точки внутри круга, на круге и вне круга. Легко также явится возможным установить возможность иметь на одном круге равные и неравные дуги.
Итак, круг рассматривается нами как линия, которую опишет, например, точка A при вращении отрезка OA около O (чер. 27). Но ясно, что мы получим все то же самое, если начнем вращение с радиуса OB (а не OA) или с радиуса OC или OD и т. п. Это обстоятельство является указанием на полную симметрию круга относительно центра (для учащихся этот род симметрии приходится выражать фразами вроде: «в круге, куда из центра ни смотреть бы, все должно быть одинаковым»). Эта симметрия позволит установить, что если, например, построить в разных местах круга равные хорды (AB = CD = EF …) (а это легко сделать при помощи циркуля, чер. 28) и соединить лучами концы этих хорд с центром O, то получим и равные дуги (◡AB = ◡CD = ◡EF = …) и равны центральные углы (∠AOB = ∠COD = ∠EOF = …). Также ясно, что если удастся построить при центре равные углы, то они высекут из круга равные дуги и определят собою равные хорды, стягивающие эти дуги. Итак, здесь устанавливается ряд положений: равным центральным углам в круге соответствуют равные хорды и равные дуги; равным хордам (или дугам) соответствуют равные центральные углы. Выясняется также, что большему центральному углу соответствует большая дуга и т. п. Подробнее на этом останавливаться не приходится, и тем более не следует из этих положений делать теоремы, подлежащие доказательствам, цель педагогического достижения здесь такова – должно сделать каждому ученику: 1) ясною симметрию круга относительно центра и 2) ясным, что из этой симметрии вытекают вышеуказанные положения.
Выясненными свойствами можно пользоваться для построения угла, равного данному, сначала при той же вершине, а затем, когда уяснится (а это делается легко, мимоходом), что круги с равными радиусами равны (конгруэнтны) и при разных вершинах (чер. 29). Пусть имеем ∠1; приняв его вершину за центр, строим круг произвольным радиусом, на этом круге определится дуга MN (или хорда MN, не построенная на чертеже), перенесем при помощи циркуля эту хорду (или дугу) на другое место круга, например, в положение M`N`, соединим концы этой хорды с центром, и мы должны получить угол, равный ∠1. Затем строим круг тем же радиусом, принимая за центр иную точку (а не точку O), после чего является возможным получить угол, равный ∠1 при другой вершине. (В моем курсе (Н. Извольский. – «Геометрия на плоскости») была избрана иная система. Опыт показывает мне предпочтительность системы, излагаемой в настоящей книге; поэтому в 3-м издании «Геометрии на плоскости» я провожу эту систему.) Вводятся упражнения: 1) построить угол, равный данному, при данной вершине так, чтобы одна его сторона шла по данному лучу; 2) построить сумму или разность двух заданных углов (имеющих разные вершины).
Далее, также опираясь на получение круга вращением отрезка, можно установить симметрию круга относительно диаметра: безразлично, вращать ли луч OA для получения круга по стрелке 1 или по стрелке 2 (чер. 30). Отсюда явствует, что части круга, расположенные по разные стороны диаметра AB, тождественны: если плоскость перегнуть по диаметру AB, то одна часть круга совпадет с другою.
Удобно, напомнив учащимся одну из их любимых забав в детстве (а именно: капнуть несколько капель чернил на лист бумаги, перегнуть его, размазать и, развернув его вновь, получить фигуру, симметричную относительно линии перегиба), здесь установить общее понятие о симметрии фигур относительно оси: если при перегибании плоскости по прямой линии одна часть какой-либо фигуры совпадает с другой, то эта фигура симметрична относительно прямой перегиба или эта прямая (перегиба) есть ось симметрии фигуры. Для круга осью симметрии может служить любой диаметр.
Если рассмотреть теперь фигуры (их можно строить по разному), состоящие из двух кругов, то учащиеся должны суметь найти ось симметрии каждой из этих фигур. Здесь уясняется симметрия точек пересечения двух кругов относительно их линии центров.
