Линии магнитного поля прямого проводника с током. Магнитная индукция в вакууме

Пусть вдоль осиOZ расположен бесконечно длинный проводник, по которому течёт ток с силой . А сила тока это что такое?
,
- заряд, который пересекает поверхностьS за время
. Система обладает осевой симметрией. Если мы введём цилиндрические координатыr ,  , z , то цилиндрическая симметрия означает, что
и, кроме того,
, при смещении вдоль осиOZ , мы видим то же самое. Таков источник. Магнитное поле должно быть таким, чтобы удовлетворялись эти условия
и
. Это означает вот что: силовые линии магнитного поля – окружности, лежащие в плоскости ортогональной проводнику. Это немедленно позволяет найти магнитное поле.

Пусть у нас это проводник.

Вот ортогональная плоскость,

вот окружность радиуса r ,

я возьму тут касательный вектор, вектор, направленный вдоль  , касательный вектор к окружности.

Тогда,
,
где
.

В качестве замкнутого контура выбираем окружность радиуса r = const . Пишем тогда , сумма длин по всей окружности (а интеграл это ни что иное, как сумма) – это длина окружности., где – сила тока в проводнике. Справа стоит заряд, который пересекает поверхность за единицу времени. Отсюда мораль:
. Значит, прямой проводник создаёт магнитное поле с силовыми линиями в виде окружностей, охватывающих проводник, и эта величинаВ убывает как при удалении от проводника, ну, и стремится к бесконечности, если мы приближаемся к проводнику, когда контур уходит внутрь проводника.

Этот результат только для случая, когда контур охватывает ток. Понятно, что бесконечный проводник нереализуем. Длина проводника, – наблюдаемая величина, и никакие наблюдаемые величины не могут принимать бесконечных значений, не такой линейки, которая позволила бы измерить бесконечную длину. Это нереализуемая вещь, тогда какой толк в этой формуле? Толк простой. Для любого проводника, будет справедливо следующее: достаточно близко к проводнику силовые линии магнитного поля – вот такие замкнутые окружности, охватывающие проводник, и на расстоянии
(R – радиус кривизны проводника), будет справедлива эта формула.

Магнитное поле, создаваемое произвольным проводником с током.

Закон Био-Савара.

Пусть мы имеем произвольный проводник с током, и нас интересует магнитное поле, создаваемое куском этого проводника в данной точке. Как, кстати, в электростатике находили мы электрическое поле, создаваемое каким-то распределением заряда? Распределение разбивали на малые элементы и вычисляли в каждой точке поле от каждого элемента (по закону Кулона) и суммировали. Такая же программа и здесь. Структура магнитного поля сложнее, чем электростатическое, кстати, оно не потенциально, замкнутое магнитное поле нельзя представить как градиент скалярной функции, у него другая структура, но идея та же самая. Разбиваем проводник на малые элементы. Вот я взял маленький элемент
, положение этого элемента определяется радиус-вектором, а точка наблюдения задаётся радиус-вектором. Утверждается, что этот элемент проводника создаст в этой точке индукциюпо такому рецепту:
. Откуда берётся этот рецепт? Его нашли в своё время экспериментально, трудно мне, кстати, представить, как это можно было экспериментально найти такую достаточно сложную формулу с векторным произведением. На самом деле это следствие четвёртого уравнения Максвелла
. Тогда поле, создаваемое всем проводником:
, или, мы можем написать теперь интеграл:
. Понятно, что вычислять такой интеграл для произвольного проводника занятие не очень приятное, но в виде суммы это нормальная задача для компьютера.

Пример. Магнитное поле кругового витка с током.

Пусть в плоскостиYZ располагается проволочный виток радиуса R, по которому течёт ток силы . Нас интересует магнитное поле, которое создаёт ток. Силовые линии вблизи витка такие:

Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10 ).

По идее, нас интересовало бы поле
, но в элементарных функциях указать поле этого витка нельзя. Найти можно только на оси симметрии. Мы ищем поле в точках (х ,0,0).

Направление вектора определяется векторным произведением
. Векторимеет две составляющие:
и. Когда мы начнём суммировать эти вектора, то все перпендикулярные составляющие в сумме дадут ноль.
. А теперь пишем:
,
=, а
.
, и, наконец 1) ,
.

Мы добыли такой результат:

А теперь, в качестве проверки, поле в центре витка равна:
.

Поле длинного соленоида.

Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.

Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида снаружи будем считать=0, а внутри соленоида=const . Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13 ), а теперь пишем:
1)


.

- это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки

(полный заряд)=
(число витков, протыкающих эту поверхность).

Мы получим такое равенство из нашего закона:
, или

.

Поле на большом расстоянии от ограниченного распределения тока.

Магнитный момент

Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.

Если характерный размер системы , то
. Напомню, что мы решали аналогичную проблему для электрического поля, создаваемого ограниченным распределением заряда, и там появилось понятие дипольного момента, и моментов более высокого порядка. Решать эту задачу я здесь не буду.

По аналогии (как делалось в электростатике) можно показать, что магнитное поле от ограниченного распределения на больших расстояниях подобно электрическому полю диполя. То есть структура этого поля такая:

Распределение характеризуется магнитным моментом .Магнитный момент
, где– плотность тока или, если учесть, что мы имеем дело с движущимися заряженными частицами, то вот эту формулу для сплошно среды мы можем выразить через заряды частиц таким образом:
. Что эта сумма выражает? Повторяю, распределение тока создаётся тем, что движутся эти заряженные частицы. Радиус-векторi -ой частицы векторно умножается на скорость i -ой частицы и всё это умножается на заряд этой i -ой частицы.

Такая конструкция, кстати, у нас в механике была. Если вместо заряда без множителя написать массу частицы, то, что это будет изображать? Момент импульса системы.

Если мы имеем частицы одного сорта (
, например, электроны), то тогда мы можем написать

. Значит, если ток создаётся частицами одного сорта, то магнитный момент связан просто с моментом импульса этой системы частиц.

Магнитное поле , создаваемое этим магнитным моментом равно:

(8.1 )

Магнитный момент витка с током

Пусть у нас имеется виток и по нему течёт ток силы. Вектор отличен от нуля в пределах витка. Возьмём элемент этого витка,
, гдеS – поперечное сечение витка, а – единичный касательный вектор. Тогда магнитный момент определён так:
. А что такое
? Это вектор, направленный вдоль вектора нормали к плоскости витка. А векторное произведение двух векторов – это удвоенная площадь треугольника, построенного на этих векторах. ЕслиdS – площадь треугольника, построенного на векторах и, то
. Тогда мы пишем магнитный момент равняется. Значит,

(магнитный момент витка с током)=(сила тока)(площадь витка)(нормаль к витку) 1) .

А теперь мы формулу (8.1 ) применим для витка с током и сопоставим с тем, что мы добыли в прошлый раз, просто для проверки формулы, поскольку формулу эту я слепил по аналогии.

Пусть мы имеем в начале координат виток произвольной формы, по которому течёт ток силы , тогда поле в точке на расстоянии х равно: (
). Для круглого витка
,
. На прошлой лекции мы находили магнитное поле круглого витка с током, при
эти формулы совпадают.

На больших расстояниях от любого распределения тока магнитное поле находится по формуле (8.1 ), а всё это распределение характеризуется одним вектором, который называется магнитный момент. Кстати, простейший источник магнитного поля это магнитный момент. Для электрического поля простейший источник это монополь, для электрического поля следующий по сложности это электрический диполь, а для магнитного поля всё начинается с этого диполя или магнитного момента. Это, ещё раз обращаю внимание, постольку, поскольку нет этих самых монополей. Был бы монополь, тогда было бы всё также как в электрическом поле. А так у нас простейший источник магнитного поля это магнитный момент, аналог электрического диполя. Наглядный пример магнитного момента – постоянный магнит. Постоянный магнит обладает магнитным моментом, и на большом расстоянии его поле имеет такую структуру:

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

Мы видели, что на заряженную частицу действует сила, равная
. Ток в проводнике есть результат движения заряженных частиц тела, то есть равномерно размазанного заряда в пространстве нет, заряд локализован в каждой частице. Плотность тока
. Наi -ую частицу действует сила
.

Выберем элемент объёма
и просуммируем силы, действующие на все частицы этого элемента объёма
. Сила, действующая на все частицы в данном элементе объёма, определяется как плотность тока на магнитное поле и на величину элемента объёма. А теперь перепишем её в дифференциальном виде:
, отсюда
– этоплотность силы , сила, действующая на единицу объёма. Тогда мы получим общую формулу для силы:
.

Обычно ток течёт по линейным проводникам, редко мы сталкиваемся с случаями, когда ток размазан как-то по объёму. Хотя, между прочим, Земля имеет магнитное поле, а от чего это поле? Источник поля это магнитный момент, это означает, что Земля обладает магнитным моментом. А это означает, что тот рецепт для магнитного момента показывает, что должны быть какие-то токи внутри Земли, они по необходимости должны быть замкнутыми, потому что не может быть стационарного разомкнутого поля. Откуда эти токи, что их поддерживает? Я не специалист в земном магнетизме. Какое-то время назад определённой модели этих токов ещё не было. Они могли быть там когда-то индуцированы и ещё не успели там затухнуть. На самом деле, ток можно возбудить в проводнике, и потом он быстро сам кончается за счёт поглощения энергии, выделения тепла и прочего. Но, когда мы имеем дело с такими объёмами как Земля, то там время затухания этих токов, однажды каким-то механизмом возбуждённых, это время затухания может быть очень длительным и длиться геологические эпохи. Может быть, так оно и есть. Ну, скажем, мелкий объект типа Луны имеет очень слабое магнитное поле, это означает, что оно затухло там уже, скажем, магнитное поле Марса тоже значительно слабее поля Земли, потому что и марс меньше Земли. Это я к чему? Конечно, есть случаи, когда токи текут в объёмах, но то, что мы здесь на Земле имеем это обычно линейные проводники, поэтому эту формулу сейчас трансформируем применительно к линейному проводнику.

Пусть имеется линейный проводник, ток течёт с силой. Выберем элемент проводника , объём этого элементаdV ,
,
. Сила, действующая на элемент проводника
перпендикулярна плоскости треугольника, построенного на векторахи, то есть направлена перпендикулярно к проводнику, а полная сила находится суммированием. Вот, две формулы решают эту задачу.

Магнитный момент во внешнем поле

Магнитный момент сам создаёт поле, сейчас мы собственное его поле не рассматриваем, а нас интересует, как ведёт себя магнитный момент, помещённый во внешнее магнитное поле. На магнитный момент действует момент силы, равный
. Момент силы будет направлен перпендикулярно к доске, и этот момент будет стремиться развернуть магнитный момент вдоль силовой линии. Почему стрелка компаса показывает на северный полюс? Ей, конечно, нет дела до географического полюса Земли, стрелка компаса ориентируется вдоль силовой линии магнитного поля, которая, в силу случайных причин, кстати, направлена примерно по меридиану. За счёт чего? А на неё действует момент. Когда стрелка, магнитный момент, совпадающий по направлению с самой стрелкой, не совпадает с силовой линией, появляется момент, разворачивающий её вдоль этой линии. Откуда у стрелки компаса берётся магнитный момент, это мы ещё обсудим.

Кроме того, на магнитный момент действует сила, равная
. Если магнитный момент направлен вдоль, то сила втягивает магнитный момент в область с большей индукцией. Эти формулы похожи на то, как действует электрическое поле на дипольный момент, там тоже дипольный момент ориентируется вдоль поля и втягивается в область с большей напряжённостью. Теперь мы можем рассмотреть вопрос о магнитном поле в веществе.

Магнитное поле в веществе

Атомы могут обладать магнитными моментами. Магнитные моменты атомов связаны с моментом импульса электронов. Уже была получена формула
, где– момент импульса частицы создающей ток. В атоме мы имеем положительное ядро и электроне , вращающийся по орбите, на самом деле, в своё время мы увидим, что эта картина не имеет отношения к реальности, так нельзя представлять электрон, который вращается, но остаётся то, что электрон в атоме обладает моментом импульса, и этому моменту импульса будет отвечать такой магнитный момент:
. Наглядно, заряд, вращающийся по окружности, эквивалентен круговому току, то есть это элементарный виток с током. Момент импульса электрона в атоме квантуется, то есть может принимать только определённые значения, вот по такому рецепту:
,
, где вот эта величина– это постоянная Планка. Момент импульса электрона в атоме может принимать лишь определённые значения, мы сейчас не будем обсуждать, как это получается. Ну, и вследствие этого магнитный момент атома может принимать определённые значения. Эти детали нас сейчас не волнуют, но, по крайней мере, будем представлять, что атом может обладать определённым магнитным моментом, есть атомы, у которых нет магнитного момента. Тогда вещество, помещённое во внешнее поле намагничивается, а это означает, что оно приобретает определённый магнитный момент вследствие того, что магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно вдоль поля.

Элемент объёма dV приобретает магнитный момент
, при чём векторимеет смысл плотности магнитного момента и называется вектором намагничивания. Имеется класс веществ, называемыхпарамагнетики , для которых
, намагничивается так, что магнитный момент совпадает с направлением магнитного поля. Имеютсядиамагнетики , которые намагничиваются, так сказать, «против шерсти», то есть магнитный момент антипараллелен вектору , значит,
. Это более тонкий термин. То, что векторпараллелен векторупонятно, магнитный момент атома ориентируется вдоль магнитного поля. Диамагнетизм связан с другим: если атом не обладает магнитным моментом, то во внешнем магнитном поле он приобретает магнитный момент, при чём магнитный момент антипараллелен. Этот очень тонкий эффект связан с тем, что магнитное поле влияет на плоскости орбит электронов, то есть оно влияет на поведение момента импульса. Парамагнетик втягивается в магнитное поле, диамагнетик выталкивается. Вот, чтобы это не было беспредметно, медь – это диамагнетик, и алюминий – парамагнетик, если взять магнит то алюминиевая лепёшка будет притягиваться магнитом, а тогда медная будет отталкиваться.

Понятно, что результирующее поле, когда вещество внесено в магнитное поле, это есть сумма внешнего поля и поля, создаваемого за счёт магнитного момента вещества. Теперь обратимся к уравнению
, или в дифференциальной форме
. Теперь такое утверждение: намагничивание вещества эквивалентно наведению в нём тока с плотностью
. Тогда это уравнение мы напишем в виде
.

Проверим размерность: М – это магнитный момент в единице объёма
, размерность
. Когда вы пишете какую-нибудь формулу, то размерность всегда полезно проверять, особенно если формула эта собственной выводки, то есть вы её не срисовали, не запомнили, а получили.

Намагниченность характеризуется вектором , он так и называется вектор намагниченности, это плотность магнитного момента или магнитный момент в единицу времени. Я говорил, что намагниченность эквивалентна появлению тока
, так называемого молекулярного тока, и это уравнение эквивалентно такому:
, то есть мы можем считать, что нет намагниченности, а есть такие токи. Зададимся таким уравнением:
,- это настоящие токи, связанные с конкретными носителями зарядов, аэто токи, связанные с намагниченностью. Электрон в атоме это круговой ток, возьмём область внутри, внутри образца все эти токи уничтожаются, но наличие таких круговых токов эквивалентно одному общему току, который обтекает этот проводник по поверхности, отсюда и такая формула. Перепишем это уравнение в таком виде:
,
. Этоттоже отправим влево и обозначим
, векторназываетсянапряжённостью магнитного поля , тогда уравнение приобретёт вид
. (циркуляция напряжённости магнитного поля по замкнутому контуру) = (сила тока через поверхность этого контура).

Ну, и, наконец, последнее. Мы имеем такую формулу:
. Для многих сред намагниченность зависит от напряжённости поля,
, где–магнитная восприимчивость , это коэффициент, характеризующий склонность вещества к намагничиванию. Тогда эта формула перепишется в виде
,
–магнитная проницаемость , и мы получаем такую формулу:
.

Если
, то это парамагнетики,
- это диамагнетики, ну, и, наконец, имеются вещества, для которых этопринимает большие значения (порядка 10 3),
- это ферромагнетики (железо, кобальт и никель). Ферромагнетики замечательны тем. Что они не только намагничиваются в магнитном поле, а им свойственно остаточное намагничивание, если он уже однажды был намагничен, то, если убрать внешнее поле, то он останется намагниченным в отличии от диа- и парамагнетиков. Постоянный магнит – это и есть ферромагнетик, который без внешнего поля намагничен сам по себе. Кстати, имеются аналоги этого дела в электричестве: имеются диэлектрики, которые поляризованы сами по себе без всякого внешнего поля. При наличии вещества наше фундаментальное уравнение приобретает такой вид:

,

,

.

Авот ещёпример ферромагнетика, бытовой пример магнитного поля в средах, во-первых, постоянный магнит, ну, и более тонкая вещь – магнитофонная лента. Каков принцип записи на ленту? Магнитофонная лента - это тонкая лента, покрытая слоем ферромагнетика, записывающая головка - это катушка с сердечником, по которой течёт переменный ток, в зазоре создаётся переменное магнитное поле, ток отслеживает звуковой сигнал, колебания с определённой частотой. Соответственно, в контуре магнита имеется переменное магнитное поле, которое меняется вместе с этим самым током. Ферромагнетик намагничивается переменным током. Когда эта лента протягивается по устройству такого типа, переменное магнитное поле создаёт переменную э.д.с. и воспроизводится опять электрический сигнал. Это ферромагнетики на бытовом уровне.

Если к прямолинейному проводнику с электрическим током поднести магнитную стрелку, то она будет стремиться стать перпендикулярно плоскости, проходящей через ось проводника и центр вращения стрелки. Это указывает на то, что на стрелку действуют особые силы, которые называются магнитными силами. Кроме действия на магнитную стрелку, магнитное поле оказывает влияние на движущиеся заряженные частицы и на проводники с током, находящиеся в магнитном поле. В проводниках, движущихся в магнитном поле, или в неподвижных проводниках, находящихся в переменном магнитном поле, возникает индуктивная э. д. с.

В соответствии с вышесказанным мы можем дать следующее определение магнитного поля.

Магнитным полем называется одна из двух сторон электромагнитного поля, возбуждаемая электрическими зарядами движущихся частиц и изменением электрического поля и характеризующаяся силовым воздействием на движущиеся заряженные частицы, а стало быть, и на электрические токи.

Если продеть через картон толстый проводник и пропустить по нему электрический ток, то стальные опилки, насыпанные на картон, расположатся вокруг проводника по концентрическим окружностям, представляющим собой в данном случае так называемые магнитные индукционные линии (фиг. 78). Мы можем передвигать картон вверх или вниз по проводнику, но расположение стальных опилок не изменится. Следовательно, магнитное поле возникает вокруг проводника по всей его длине.

Если на картон поставить маленькие магнитные стрелки, то, меняя направление тока в проводнике, можно увидеть, что магнитные стрелки будут поворачиваться (фиг. 79). Это показывает, что направление магнитных индукционных линий меняется с изменением направления тока в проводнике.

Магнитные индукционные линии вокруг проводника с током обладают следующими свойствами: 1) магнитные индукционные линии прямолинейного проводника имеют форму концентрических окружностей; 2) чем ближе к проводнику, тем гуще располагаются магнитные индукционные линии; 3) магнитная индукция (интенсивность поля) зависит от величины тока в проводнике; 4) направление магнитных индукционных линий зависит от направления тока в проводнике.

Направление магнитных индукционных линий вокруг проводника с током можно определить по «правилу буравчика:». Если буравчик (штопор) с правой резьбой будет двигаться поступательно по направлению тока, то направление вращения ручки будет совпадать с направлением магнитных индукционных линий вокруг проводника (фиг. 81),

Магнитная стрелка, внесенная в поле проводника с током, располагается вдоль магнитных индукционных линий. Поэтому для определения ее расположения можно также воспользоваться «правилом буравчика» (фиг. 82). Магнитное поле есть одно из важнейших проявлений электрического тока и не может быть

Получено независимо и отдельно от тока. Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции, который имеет, следовательно, определенную величину и определенное направление в пространстве.

Количественное выражение для магнитиой индукции в результате обобщения опытных данных было установлено Био и Саваром (фиг. 83). Измеряя по отклонению магнитной стрелки магнитные поля электрических токов различной величины и формы, оба ученых пришли к выводу, что всякий элемент тока создает на некотором расстоянии от себя магнитное поле, магнитная индукция которого АВ прямо пропорциональна длине А1 этого элемента, величине протекающего тока I, синусу угла а между направлением тока и радиусом-вектором, соединяющим интересующую нас точку поля с данным элементом тока, и обратно пропорциональна квадрату длины этого радиуса-вектора r:

генри (гн)-единица индуктивности; 1 гн= 1 ом сек.

- относительная магнитная проницаемость - безразмерный коэффициент, показывающий, во сколько раз магнитная проницаемость данного материала больше магнитной проницаемости пустоты. Размерность магнитной индукции можно найти по формуле

вольт-секунда иначе называется вебером (вб):

На практике встречается более мелкая единица магнитной индукции-гаусс (гс):

Закон Био и Савара позволяет вычислить магнитную индукцию бесконечно длинного прямолинейного проводника:

где- расстояние от проводника до точки, где определяется

Магнитная индукция. Отношение магнитной индукции к произведению магнитных проницаемостей называется напряженностью магнитного поля и обозначается буквой Н:

Последнее уравнение связывает две магнитные величины: индукцию и напряженность магнитного поля. Найдем размерность Н:

Иногда пользуются другой единицей напряженности - эрстедом (эр):

1 эр = 79,6 a/м = 0,796 а/см.

Напряженность магнитного поля Н, как и магнитная индукция В, является векторной величиной.

Линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется линией магнитной индукции или магнитной индукционной линией.

Произведение магнитной индукции на величину площадки, перпендикулярной направлению поля (вектору магнитной индукции), называется потоком вектора магнитной индукции или просто магнитным потоком и обозначается буквой Ф:

Размерность магнитного потока:

т. е. магнитный поток измеряется в вольт-секундах или веберах. Более мелкой единицей магнитного потока является максвелл (мкс):

1 вб = 108 мкс. 1 мкс = 1 гс см2.

Можно показать, как пользоваться законом Ампера, определив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндрического сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от . Он равен просто величине , умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен , то

.

Полный ток через петлю есть просто ток в проводе, поэтому

. (13.17)

Напряженность магнитного поля спадает обратно пропорционально , расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что направлено перпендикулярно как , так и , имеем

(13.18)

Фигура 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током .

Фигура 13.8. Магнитное поле длинного соленоида.

Мы выделили множитель , потому что он часто появляется. Стоит запомнить, что он равен в точности (в системе единиц СИ), потому что уравнение вида (13.17) используется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии ток в создает магнитное поле, равное .

Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также проходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если провода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю другого провода; тогда провода будут отталкиваться или притягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направлены,- они отталкиваются.

Возьмем другой пример, который тоже можно проанализировать с помощью закона Ампера, если еще добавить кое-какие сведения о характере поля. Пусть имеется длинный провод, свернутый в тугую спираль, сечение которой показано на фиг. 13.8. Такая спираль называется соленоидом. На опыте мы наблюдаем, что когда длина соленоида очень велика по сравнению с диаметром, то поле вне его очень мало по сравнению с полем внутри. Используя только этот факт и закон Ампера, можно найти величину поля внутри.

Поскольку поле остается внутри (и имеет нулевую дивергенцию), его линии должны идти параллельно оси, как показано на фиг. 13.8. Если это так, то мы можем использовать закон Ампера для прямоугольной «кривой» на рисунке. Эта кривая проходит расстояние внутри соленоида, где поле, скажем, равно , затем идет под прямым углом к полю и возвращается назад по внешней области, где полем можно пренебречь. Линейный интеграл от вдоль этой кривой равен в точности , и это должно равняться , умноженному на полный ток внутри , т.е. на (где - число витков соленоида на длине ). Мы имеем

Или же, вводя - число витков на единицу длины соленоида (так что ), мы получаем

Фигура 13.9. Магнитное поле вне соленоида.

Что происходит с линиями , когда они доходят до конца соленоида? По-видимому, они как-то расходятся и возвращаются в соленоид с другого конца (фиг. 13.9). В точности такое же поле наблюдается вне магнитной палочки. Ну а что же такое магнит? Наши уравнения говорят, что поле возникает от присутствия токов. А мы знаем, что обычные железные бруски (не батареи и не генераторы) тоже создают магнитные поля. Вы могли бы ожидать, что в правой части (13.12) или (13.13) должны были бы быть другие члены, представляющие «плотность намагниченного железа» или какую-нибудь подобную величину. Но такого члена нет. Наша теория говорит, что магнитные эффекты железа возникают от каких-то внутренних токов, уже учтенных членом .

Вещество устроено очень сложно, если рассматривать его с глубокой точки зрения; в этом мы уже убедились, когда пытались понять диэлектрики. Чтобы не прерывать нашего изложения, отложим подробное обсуждение внутреннего механизма магнитных материалов типа железа. Пока придется принять, что любой магнетизм возникает за счет токов и что в постоянном магните имеются постоянные внутренние токи. В случае железа эти токи создаются электронами, вращающимися вокруг собственных осей. Каждый электрон имеет такой спин, который соответствует крошечному циркулирующему току. Один электрон, конечно, не дает большого магнитного поля, но в обычном куске вещества содержатся миллиарды и миллиарды электронов. Обычно они вращаются любым образом, так что суммарный эффект исчезает. Удивительно то, что в немногих веществах, подобных железу, большая часть электронов крутится вокруг осей, направленных в одну сторону,- у железа два электрона из каждого атома принимают участие в этом совместном движении. В магните имеется большое число электронов, вращающихся в одном направлении, и, как мы увидим, их суммарный эффект эквивалентен току, циркулирующему по поверхности магнита. (Это очень похоже на то, что мы нашли в диэлектриках,- однородно поляризованный диэлектрик эквивалентен распределению зарядов на его поверхности.) Поэтому не случайно, что магнитная палочка эквивалентна соленоиду.

Рассмотрим прямолинейный проводник (рис.3.2) , который является частью замкнутой электрической цепи. По закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукции
поля, создаваемого в точкеА элементом проводника с токомI , имеет значение
, где- угол между векторамии. Для всех участковэтого проводника векторыилежат в плоскости чертежа, поэтому в точкеА все векторы
, создаваемые каждым участком, направлены перпендикулярно к плоскости чертежа (к нам). Векторопределяется по принципу суперпозиции полей:

,

его модуль равен:

.

Обозначим расстояние от точки А до проводника . Рассмотрим участок проводника
. Из точкиА проведем дугу С D радиуса ,
– мал, поэтому
и
. Из чертежа видно, что
;
, но
(CD =
) Поэтому имеем:

.

Для получаем:

где и- значения угла для крайних точек проводникаMN .

Если проводник бесконечно длинный, то
,
. Тогда

индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника .

3.4. Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим круговой виток радиуса R , по которому течет ток I (рис. 3.3). По закону Био- Савара- Лапласа индукция
поля, создаваемого в точкеО элементом витка с током равна:

,

причём
, поэтому
, и
. С учётом сказанного получаем:

.

Все векторы
направлены перпендикулярно к плоскости чертежа к нам, поэтому индукция

напряженность
.

Пусть S – площадь, охватываемая круговым витком,
. Тогда магнитная индукция в произвольной точке оси кругового витка с током:

,

где – расстояние от точки до поверхности витка. Известно, что
- магнитный момент витка. Его направление совпадает с векторомв любой точке на оси витка, поэтому
, и
.

Выражение для по виду аналогично выражению для электрического смещения в точках поля, лежащих на оси электрического диполя достаточно далеко от него:

.

Поэтому магнитное поле кольцевого тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого условного «магнитного диполя», положительным (северным) полюсом считают ту сторону плоскости витка, из которой магнитные силовые линии выходят, а отрицательным (южным) – ту, в которую входят.

Для контура тока, имеющего произвольную форму:

,

где - единичный вектор внешней нормали к элементуповерхностиS , ограниченной контуром. В случае плоского контура поверхность S – плоская и все векторы совпадают.

3.5. Магнитное поле соленоида

Соленоид - это цилиндрическая катушка с большим числом витков провода. Витки соленоида образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов. Эти витки (токи) имеют одинаковый радиус и общую ось (рис.3.4).

Рассмотрим сечение соленоида вдоль его оси. Кружками с точкой будем обозначать токи, идущие из-за плоскости чертежа к нам, а кружочком с крестиком - токи, идущие за плоскость чертежа, от нас. L – длина соленоида, n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; - R - радиус витка. Рассмотрим точку А , лежащую на оси
соленоида. Ясно, что магнитная индукцияв этой точке направлена вдоль оси
и равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в этой точке всеми витками.

Проведем из точки А радиус – вектор к какому-либо витку. Этот радиус-вектор образует с осью
уголα . Ток, текущий по этому витку, создает в точке А магнитное поле с индукцией

.

Рассмотрим малый участок
соленоида, он имеет
витков. Эти витки создают в точкеА магнитное поле, индукцию которого

.

Ясно, что расстояние по оси от точки А до участка
равно
; тогда
.Очевидно,
, тогда

Магнитная индукция полей, создаваемых всеми витками, в точке А равна

Напряженность магнитного поля в точке А
.

Из рис.3. 4 находим:
;
.

Таким образом, магнитная индукция зависит от положения точки А на оси соленоида. Она

максимальна в середине соленоида:

.

Если L >> R , то соленоид можно считать бесконечно длинным, в этом случае
,
,
,
; тогда

;
.

На одном из концов длинного соленоида
,
или
;
,
,
.

Магнитное поле проводника с током. При прохождении тока по прямолинейному проводнику вокруг него возникает магнитное поле (рис. 38). Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.
Направление магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику. Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика. Его формулируют следующим образом. Если поступательное движение буравчика 1 (рис. 39, а) совместить с направлением тока 2 в проводнике 3, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий 4 магнитного поля вокруг проводника. Например, если ток проходит по проводнику в направлении от нас за плоскость листа книги (рис. 39, б), то магнитное поле, возникающее вокруг этого проводника, направлено по часовой стрелке. Если ток по проводнику проходит по направлению от плоскости листа книги к нам, то магнитное поле вокруг проводника направлено против часовой стрелки. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле. При изменении направления тока магнитное поле также изменяет свое направление.
По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля и его напряженность уменьшаются. Напряженность магнитного поля в пространстве, окружающем проводник,

H = I/(2?r) (44)

Максимальная напряженность Н max имеет место на внешней поверхности проводника 1 (рис. 40). Внутри проводника также

возникает магнитное поле, но напряженность его линейно уменьшается по направлению от внешней поверхности к оси (кривая 2). Магнитная индукция поля вокруг и внутри проводника изменяется таким же образом, как и напряженность.

Способы усиления магнитных полей. Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют обмоткой, или катушкой.
При проводнике, согнутом в виде витка (рис. 41, а), магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются (рис. 41, б) и их силовые линии соединяются в общий магнитный поток. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается. Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки. Магнитное поле катушки, обтекаемой током, имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита (см. рис. 35, а): силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят В другой ее конец. Поэтому катушка, обтекаемая током, представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такое устройство называется электромагнитом.
Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Они создают магнитное поле, необходимое для работы электрических машин, а также электродинамические усилия, требуемые. Для работы различных электроизмерительных приборов и электрических аппаратов.
Электромагниты могут иметь разомкнутый или замкнутый магнитопровод (рис. 42). Полярность конца катушки электромагнита можно определить, как и полярность постоянного магнита, при помощи магнитной стрелки. К северному полюсу она поворачивается южным концом. Для определения направления магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика. Если совместить направление вращения рукоятки с направлением тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление магнитного поля. Полярность электромагнита можно определить и с помощью правой руки. Для этого руку надо положить ладонью на катушку (рис. 43) и совместить четыре пальца с направлением в ней тока, при этом отогнутый большой палец покажет направление магнитного поля.